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梯度下降是机器学习的动力之源

经过前面两节内容的铺垫，我们可以开始讲一讲机器学习的动力之源：梯度下降。

梯度下降并不是一个很复杂的数学工具，其历史已经有200多年了，但是人们可能不曾料到，这样一个相对简单的数学工具会成为诸多机器学习算法的基础，而且还配合着神经网络点燃了深度学习革命。

1、什么是梯度

对多元函数的各参数求偏导数，然后把所求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

具体来说，两个自变量的函数f（x1，x2），对应着机器学习数据集中的两个特征，如果分别对x1，x2求偏导数，那么求得的梯度向量就是（∂f/∂x1，∂f/∂x2）T，在数学上可以表示成Δf（x1，x2）。那么计算梯度向量的意义何在呢？其几何意义，就是函数变化的方向，而且是变化最快的方向。对于函数f（x），在点（x0，y0），梯度向量的方向也就是y值增加最快的方向。也就是说，沿着梯度向量的方向Δf（x0），能找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -Δf（x0）的方向，梯度减少最快，能找到函数的最小值。如果某一个点的梯度向量的值为0，那么也就是来到了导数为0的函数最低点（或局部最低点）了。

2、梯度下降：下山的隐喻

在机器学习中用下山来比喻梯度下降是很常见的。想象你们站在一座大山上某个地方，看着远处的地形，一望无际，只知道远处的位置比此处低很多。你们想知道如何下山，但是只能一步一步往下走，那也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度。然后，沿着梯度的负方向，也就是往最陡峭的地方向下走一步，继续求解新位置的梯度，并在新位置继续沿着最陡峭的地方向下走一步。就这样一步步地走，直到山脚，如下图所示。

从上面的解释中，就不难理解为何刚才我们要提到函数的凹凸性了。因为，在非凸函数中，有可能还没走到山脚，而是到了某一个山谷就停住了。也就是说，对应非凸函数梯度下降不一定总能够找到全局最优解，有可能得到的只是一个局部最优解。然而，如果函数是凸函数，那么梯度下降法理论上就能得到全局最优解。

3、梯度下降有什么用

梯度下降在机器学习中非常有用。简单地说，可以注意以下几点。

机器学习的本质是找到最优的函数。

如何衡量函数是否最优？其方法是尽量减小预测值和真值间的误差（在机器学习中也叫损失值）。

可以建立误差和模型参数之间的函数（最好是凸函数）。

梯度下降能够引导我们走到凸函数的全局最低点，也就是找到误差最小时的参数。

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